【转】图像具有双重对称性的函数的周期性
2011-04-25 10:24:48| 分类：
数学
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一些函数的图像具有对称性，它们可以关于某一点对称，也可以关于某一条直线对称。如果一个函数的图像具有双重对称性，即同时关于某两点对称，或者关于某两条直线对称，或者关于一点一线对称，并且对称点在x轴上，对称轴是与x轴垂直的直线，那么这样的函数具有周期性的特点。下面就函数的以上情况分别加以说明。
一 以点为对称中心、直线为对称轴的函数的周期性
如果函数y＝f（x）是定义在R上的函数，点P（b，0）是它的一个对称中心，直线l∶x＝a是它的一条对称轴（a≠b），试确定函数y＝f（x）的周期。
解析：由于点P（b，0）为f（x）的对称中心，故有f（b＋x）＝－f（b－x）。 (1) 直线x＝a为f（x）的对称轴，故有f（a＋x）＝f（a－x）。 （2）
由（1）可得f（－x）＝－f（2b＋x）（3）（此时用－x代替b－x）
由（2）可得f（－x）＝f（2a＋x）（4）（此时用－x代替a－x）故有：
f（2a＋x）＋f（2b＋x）＝0，所以f（2a＋x－2b）＋f（x）＝0。
即：f（2a－2b＋x）＝－f（x）（5）（此时用x代替2b＋x）。
所以由（5）可得，f（4a－4b＋x）＝f〔2a－2b＋（2a－2b＋x）〕＝－f（2a－2b＋x）＝f（x）
即f〔4（a－b）＋x〕＝f（x）
可以看出函数y＝f（x）是以4（a－b）为周期的函数。如果点P（b，0）与l∶x＝a之间再没有对称轴或者对称中心，则4｜a－b｜为函数y＝f（x）的最小正周期。
例1，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x＋3）＝f（3－x），若x∈（0，3）时，其解析式为y＝2x，求x∈（－6，－3）时，函数f（x）的解析式。
解：由上面的分析可知f（x）是一个周期函数，且它的周期为12。因此当x∈（－6，－3）时，x＋6∈（0，3），所以f（x）＝f（x＋12）＝f〔3＋（x＋9）〕＝f〔3－（x＋9）〕＝f（－x－6）＝－f（x＋6）＝－2x＋6，即f（x）＝－2x＋6。
二 以两条直线为对称轴的函数的周期性
如果函数y＝f（x）是定义在R上的函数，直线x＝a和直线x＝b是它的两条对称轴（a≠b），试确定函数y＝f（x）的周期。
解析：直线x＝a是f（x）的对称轴，有f（2a＋x）＝f（－x）。直线x＝b是f（x）的对称轴，有f（2b＋x）＝f（－x），所以有f（2a＋x）＝f（2b＋x），从而有f（2a＋x－2b）＝f（x）（此时用x代替2b＋x）。此时可以确定2（a－b）是函数y＝f（x）的一个周期。如果此时函数的两条对称轴之间再没有其他对称轴，那么2｜a－b｜是函数f（x）的最小正周期。
例2，设函数f（x）在R上满足f（2＋x）＝f（2－x），f（7＋x）＝f（7－x），且在闭区间〔0，7〕上，只有f（1）＝f（3）＝0。
（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性。
（2）试求方程f（x）＝0在闭区间〔－2005，2005〕上的根的个数，并证明你的结论。
解析：由f（2＋x）＝f（2－x），f（7＋x）＝f（7－x）得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2和x＝7。由上面结论可知函数y＝f（x）是周期函数，最小正周期为10。所以f（x＋10）＝f（x）。因为在闭区间〔0，7〕上，只有f（1）＝f（3）＝0，可得f（3）＝f（3－10）＝f（－7）＝0。而f（7）≠0，所以函数y＝f（x）既不是奇函数也不是偶函数。
由上面的解答可知方程f（x）＝0在一个周期内只有2个根（如在〔－7，3）内有根－7，1）所以在闭区间〔－2005，2005〕上根的个数有401×2＝802个。
三 以两点为对称中心的函数的周期
如果函数y＝f（x）是定义在R上的函数，点P（a，0）和点Q（b，0）是它的两个对称中心（a≠b），试确定函数y＝f（x）的周期。
解：点P（a，0）为f（x）的对称中心，有f（a＋x）＝－f（a－x）。 （1）
点Q（b，0）为f（x）的对称中心，有f（b＋x）＝－f（b－x）。 （2）
由（1）可得：f（－x）＝－f（2a＋x）；
由（2）可得：f（－x）＝－f（2b＋x）。
故有f（2a＋x）＝f（2b＋x），所以f（2a－2b＋x）＝f（x）（此时用x代替2b＋x）。
此时可以确定2（a－b）是函数y＝f（x）的一个周期。如果此时函数的两个对称中心之间再没有其他对称中心，那么2｜a－b｜是函数f（x）的最小正周期。
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