注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

今天我活着

活着就应快乐

 
 
 

日志

 
 

【转】图像具有双重对称性的函数的周期性  

2011-04-25 10:24:48|  分类: 数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |
        一些函数的图像具有对称性,它们可以关于某一点对称,也可以关于某一条直线对称。如果一个函数的图像具有双重对称性,即同时关于某两点对称,或者关于某两条直线对称,或者关于一点一线对称,并且对称点在x轴上,对称轴是与x轴垂直的直线,那么这样的函数具有周期性的特点。下面就函数的以上情况分别加以说明。
        一 以点为对称中心、直线为对称轴的函数的周期性
        如果函数y=f(x)是定义在R上的函数,点P(b,0)是它的一个对称中心,直线l∶x=a是它的一条对称轴(a≠b),试确定函数y=f(x)的周期。
        解析:由于点P(b,0)为f(x)的对称中心,故有f(b+x)=-f(b-x)。 (1)            直线x=a为f(x)的对称轴,故有f(a+x)=f(a-x)。  (2)
        由(1)可得f(-x)=-f(2b+x)(3)(此时用-x代替b-x)
        由(2)可得f(-x)=f(2a+x)(4)(此时用-x代替a-x)故有:
f(2a+x)+f(2b+x)=0,所以f(2a+x-2b)+f(x)=0。
        即:f(2a-2b+x)=-f(x)(5)(此时用x代替2b+x)。
        所以由(5)可得,f(4a-4b+x)=f〔2a-2b+(2a-2b+x)〕=-f(2a-2b+x)=f(x)
        即f〔4(a-b)+x〕=f(x)
        可以看出函数y=f(x)是以4(a-b)为周期的函数。如果点P(b,0)与l∶x=a之间再没有对称轴或者对称中心,则4|a-b|为函数y=f(x)的最小正周期。
        例1,函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+3)=f(3-x),若x∈(0,3)时,其解析式为y=2x,求x∈(-6,-3)时,函数f(x)的解析式。
        解:由上面的分析可知f(x)是一个周期函数,且它的周期为12。因此当x∈(-6,-3)时,x+6∈(0,3),所以f(x)=f(x+12)=f〔3+(x+9)〕=f〔3-(x+9)〕=f(-x-6)=-f(x+6)=-2x+6,即f(x)=-2x+6。
        二 以两条直线为对称轴的函数的周期性
        如果函数y=f(x)是定义在R上的函数,直线x=a和直线x=b是它的两条对称轴(a≠b),试确定函数y=f(x)的周期。
        解析:直线x=a是f(x)的对称轴,有f(2a+x)=f(-x)。直线x=b是f(x)的对称轴,有f(2b+x)=f(-x),所以有f(2a+x)=f(2b+x),从而有f(2a+x-2b)=f(x)(此时用x代替2b+x)。此时可以确定2(a-b)是函数y=f(x)的一个周期。如果此时函数的两条对称轴之间再没有其他对称轴,那么2|a-b|是函数f(x)的最小正周期。
        例2,设函数f(x)在R上满足f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x),且在闭区间〔0,7〕上,只有f(1)=f(3)=0。
        (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性。
        (2)试求方程f(x)=0在闭区间〔-2005,2005〕上的根的个数,并证明你的结论。
        解析:由f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)得函数y=f(x)的对称轴为x=2和x=7。由上面结论可知函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为10。所以f(x+10)=f(x)。因为在闭区间〔0,7〕上,只有f(1)=f(3)=0,可得f(3)=f(3-10)=f(-7)=0。而f(7)≠0,所以函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
        由上面的解答可知方程f(x)=0在一个周期内只有2个根(如在〔-7,3)内有根-7,1)所以在闭区间〔-2005,2005〕上根的个数有401×2=802个。
        三 以两点为对称中心的函数的周期
        如果函数y=f(x)是定义在R上的函数,点P(a,0)和点Q(b,0)是它的两个对称中心(a≠b),试确定函数y=f(x)的周期。
        解:点P(a,0)为f(x)的对称中心,有f(a+x)=-f(a-x)。                                            (1)
        点Q(b,0)为f(x)的对称中心,有f(b+x)=-f(b-x)。                                               (2)
        由(1)可得:f(-x)=-f(2a+x);
        由(2)可得:f(-x)=-f(2b+x)。
        故有f(2a+x)=f(2b+x),所以f(2a-2b+x)=f(x)(此时用x代替2b+x)。
        此时可以确定2(a-b)是函数y=f(x)的一个周期。如果此时函数的两个对称中心之间再没有其他对称中心,那么2|a-b|是函数f(x)的最小正周期。
  评论这张
 
阅读(232)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

在LOFTER的更多文章

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017